みんなが苦手とする立体図形問題（四面体）～問題解説編

■  立体図形問題   ■

みんなが苦手とする立体図形問題～四面体 - らふわく～Life＆laugh work～受験算数・数学・趣味

この問題はどの点がどの平面上にある点かということを整理する力が求めらます。

よく切断面を作図するときに２点を結んだりしますが、あれは同一平面を意識して作図しているのです。

D、C、S、およびB、D、Rはそれぞれ一直線上に並んでいるので、R、Sは面BCDと同一平面にあります。そこで、この平面と辺PQの交点をTとします。

すると、C、A、P、およびA、B、Qはそれぞれ一直線上に並んでいるので、P、Qは面ABCと同一平面にあります。従って、Tも面ABCと同一平面上にあるTも面ABCと同一平面にあることになります。よって、Tは辺CBの延長線上にあることが分かります。

では、三角錐PQRSを面RSTで２分割してそれぞれの体積を求めてみましょう。

三角錐P-RSTと三角錐A-BCDの高さの比＝PC：AC＝３：１
三角錐Q-RSTと三角錐A-BCDの高さの比＝QB：AB＝２：１
よって、PT：QT＝３：２となります。

△PTCと直線AQに関してメネラウスの定理より、
CA/AP×PQ/QT×TB/BC＝１
1/2×5/2×TB/BC＝１
よって、TB：BC＝４：５

△BCDの面積を１とすると、△DSR＝３×２＝６、△TCS＝９/５×２＝１８/５、
△TBR＝４/５×３＝１２/５。

従って、

△TSR＝△DSR＋△TCS＋△TBR＋△BCD
　＝６＋１８/５＋１２/５＋１＝１３
よって、三角錐ABCDの体積を１とすると、
三角錐PQRS＝三角錐P-RST＋三角錐Q-RST＝１３×（３＋２）＝６５倍

では類題です。

 【問題】

下の左図のような四面体ＡＢＣＤがあります。右図は、この四面体ＡＢＣＤについて、辺ＡＢの延長上に、ＢＱ＝ＡＢとなる点Ｑを、辺ＢＣの延長上に、ＣＲ＝ＢＣとなる点Ｒを、辺ＣＤの延長上に、ＤＳ＝ＣＤとなる点Ｓを、辺ＤＡの延長上に、ＡＰ＝ＤＡとなる点Ｐをとり、新しい四面体ＰＱＲＳを作ったところを表しています。

では、四面体ＰＱＲＳの体積は、もとの四面体ＡＢＣＤの何倍であるか、求めてください。

答え１５倍