２つ以上の連続した整数の和に分解する方法 - らふわく～Life＆laugh work～受験算数・数学・趣味

■ 連続した整数の和 ■

18を２つ以上の連続した整数の和に分解する方法は２通りあります。

①５＋６＋７　

②３＋４＋５＋６

①の場合、３個の連続数で真ん中（センター）は6。この６は平均を意味します。

　　　　　なので平均6×３個＝総和18となります。

②の場合、4個の連続数なので平均は4.5となり真ん中（センター）は存在しません。

　　　　　しかし、これを３＋４＋５＋６　４と5、3と6のセットとみると合計9が２セット＝総和18と言えます。

偶数個の時はセンターがないのでセンターに近い２つをセットにしたもののセット数で総和を表せます。

①②をみるとともに総和は掛け算であらわせ、①は個数が奇数、②はセンターに近い２つの和が奇数になっていませんか。

つまり

奇数個の連続数の時は　センターの数×個数（奇数）

偶数個の連続数の時は　センターに近い２つの和（奇数）×セット数

と見方を変えることができます。

なので奇数だけに注目すればいいことが分かります。

18=2×3×3なので奇数の約数は（1,3,9）

個数を1の場合、センターが18はできない。

個数が3の場合、センターが6なら（5～7）でできる。

個数が9の場合、センターが２はできない。

２つの和が1の場合は１８セットはできない。

２つの和が３の場合は６セットは2と３を中心に左右に５増減させればいいがこれはできない。

２つの和が9の場合は2セットは4と５を中心に左右に１増減させればいいので（3～6）

というように個数の場合と２つの和がそれぞれ奇数になるケースを考えているだけなのです。

では2023の場合は、2023=7×17×17より奇数の約数は（1,7,17,119,289,2023）の6つ。

ここで

（1,7,17,119,289,2023）に対応して

（2023,289,119,17,7,1）とメモしておきます。

上下を掛け算すると2023になります。

個数が

1の場合：センター2023は×

7の場合：センター289は（286～292）

17の場合：センター119は（111～127）

119の場合：センター17は×

289の場合：センター7は×

2023の場合：センター1は×

２つの和が

1の場合：2023セットは×

7の場合：289セットは×

17の場合：119セットは×

119の場合：17セットは（43～76）

289の場合：7セットは（138～151）

2023の場合：1セットは（1011,1012）

この結果を見ると、１以外の奇数の約数の個数（５個）と一致しています。

負の数まで考えるなら個数が１の場合のみ連続数にならないので２×6-1=11個と計算できます。

この開成の2018年問３もこの考えを使ってメモだけで瞬殺できているのでした。