入学試験は分からないことや見たことないものに遭遇した時にどんな反応をするかを試すもの。（その２）
■ 問題の解説 ■
【問題】
次の計算について、（ ア：４桁の整数 ）に当てはまる整数を求めてください。
１０１０１０１０１ ＝ （ ア：４桁の整数 ）×（ イ：５桁の整数 ）。
左の９ケタの数は、０が４個、１が５個ある数です。
実は101010101=41×271×9091=11111×9091
と因数分解できるのでア：9091、イ：11111となります。
が手計算では無理ですね。
まず１０１０１０１０１が特徴のある数ですよね。
1と0が交互になっています。
その前に数の問題の時のアプローチの基本の確認です。
ゴホンゲ先生の語録にも
五本毛語録ファイルを作成してみました！ | らふわく～Life＆laugh work～算数・数学・趣味
「整数」は範囲を絞る働き！
とあります。
数の問題の時には範囲を絞るためにも、
①掛け算の形にする
②条件から範囲を絞る
③あまりで場合分け
の３つのアプローチを駆使します。
今回は①は問題自体がそうなので、②を駆使します。
１０１０１０１０１が特徴のある数ということで、これは
１１１１１１１１１÷１１＝１０１０１０１０１
と言い換えられることに気づきました？
割り算のひっ算をしてもらうと一目瞭然です。
１１でわるときに１１のかたまりごとに１を書きますよね。（あいだは0）
筆算を計算の道具に終わらせず、計算過程の理屈まで理解していれば気づけたはずです。
つぎに１１１１１１１１１をなんとか分解したいのですが、
１１の倍数の判別法
って押さえていますか？
【応用】倍数判定法（7と11と13の場合） | なかけんの数学ノート
これを使えば１００００１が11の倍数であり
１１１１１×１００００１＝１１１１１１１１１
となるので
１０１０１０１０１
＝１１１１１１１１１÷１１
＝１１１１１×１００００１÷１１
＝１１１１１×９０９１
と分解できました。
どうですか、
問題の数を見た時に特徴に気づいて、どう変換させていくかを実践しただけです。計算のやり方で知らない方法はないはずです。１１の倍数の判別は難しいかもしれませんが。ただ、１００１＝７×１１×１３から１１の倍数であることは問題で扱ったことがあるはずです。
では、この問題をここで終わらせてはもったいないです。
ここからは数学の範疇になります。
数の問題の時に、重要なアプローチ、それは桁ばらし。
１０１０１０１０１を桁ばらししたら
＝10^8+10^6+10^4+10^2+1
=1+(10^2)+(10^2)^2+(10^2)^3+(10^2)^4
つまり初項１で等比100の等比数列の和であらわせます。
Sn=１０１０１０１０１
=（(10^2)^5-1)/(10^2-1)
= ((10^5)^2-1)/(10^2-1)
=(10^5+1)(10^5-1)/(10+1)(10-1)
=｛(10^5+1)/(10+1)｝＊｛(10^5-1)/(10-1)｝
=9091×11111
