頭の体操～1が2007桁ある数字に2007をかけた数字の各位の和は？

 

【問題】

ある数字Aは1が2007桁ある数字です。

そのAに2007をかけた数字の各位の和はいくつになりますか？

昔から子鉄の口癖。

習っていないからわからない。

習った問題なんてみんな解けるからそんなの入試問題に出すわけないじゃん。

でも知ってる知識を使いこせば解ける問題が入試問題なんだよ。

ではこの問題はどう考えますか？

まさかまともに計算なんてしないですよね。

算数の問題に関わらずですが問題を解く時によくわからなければ

まずは実験。そして、問題の意図を考える。

この問題に関する問題の意図とは１が2007けた続く数字や2007という数字の意味を考えること。

まずは実験

1×2007=2007

11×2007=22077

111×2007=222777

1111×2007=2229777

11111×2007=22299777

111111×2007=222999777

なんか規則性が見えてきましたね。

1が6けたで2が3つ、9が3つ、7が3つ。変わるのは9の数だから1が2007けたなら2が3つ、9が2004個、7が3つで2×3+9×2004+7×3=18063としていいのでしょうか？

この並びだけで2が3つ、9が2004個、7が3つと絶対になると言えますか？

ちょっと見方を変えてみましょう。

2007を因数分解すると3×3×223=9×223になります。

では11111×2007の場合

11111×2007=11111×9×223=99999×223=(100000-1)×223と言い換えることができるので22300000-223=22299777と計算できます。

まさにこれが計算の工夫です。

したがって1が2007けたあるなら10の2007乗×223つまり先頭が223で0が2007こ続く数字（2008けた）から223を引いた結果が計算の答えになります。

なので2が3こ、9が2004こ、7が3ことなり2+7=9から9×(3+2004)=18063となります。

数字並びの規則性もどき？から導き出した18063と同じでしたね。

答えだけ出せばいい算数のテストなら〇がもらえますが、記述式だとなぜそうなると言えますか？とコメントされますね。

でもね、実はもっと算数らしい考え方があるんです！ 

たとえば11111×2007なら

2007を2000+7にすれば、2が5個、７が５個となり（2+7）×5=45となります。

1が2007こ続くなら、2が2007こ、7が2007こで(2+7)×2007=18063と瞬殺でした。

繰り上がりがないからできる考え方です。

どちらも整数問題では大事な「けたばらし」という考え方が根底にあります。世の中の一般的な数字は10進法が 基本となっています。小学生が苦手とするN進法についてもあわせて勉強しておくといいですね。